לאיזה מספר הבסיס מתקייםאינדוקציה 571 · שיעור 20

אינדוקציה · שאלון 571

שיעור 20: לאיזה מספר הבסיס מתקיים

פרק 5 – הוכחה תקינה או שגויה

1נוסח השאלה

2סעיף א – שלב הצעד

3סעיף ב – הערך של c

📄 נוסח השאלה

לפניכם טענה, כאשר c הוא מספר קבוע: לכל n טבעי מתקיים

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)

= n(n + 1)(n + 2)3 + c

א. הוכיחו ששלב הצעד מתקיים לכל ערך של c.

ב. בעבור איזה ערך של c הטענה נכונה לכל n טבעי? נמקו.

סעיף א – שלב הצעד

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3 + c

מניחים:

1 · 2 + … + k(k + 1)

= k(k + 1)(k + 2)3 + c

צריך להוכיח:

1 · 2 + … + (k + 1)(k + 2)

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 + c

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

1 · 2 + … + k(k + 1)
= k(k + 1)(k + 2)3 + c

סעיף א – שלב הצעד · המשך

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3 + c

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k(k + 1)(k + 2)3

+ (k + 1)(k + 2) + c

נוציא גורם משותף (k + 1)(k + 2):

📐 הוצאת גורם משותף

= (k + 1)(k + 2)(k3 + 1) + c

= (k + 1)(k + 2)(k + 3)3 + c ✓

קיבלנו את אגף ימין, ובחישוב לא השתמשנו בערך של c. לכן הצעד מתקיים לכל c.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 הנחת האינדוקציה

1 · 2 + … + k(k + 1)
= k(k + 1)(k + 2)3 + c

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

סעיף ב – הערך של c

1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)3 + c

נבדוק את שלב הבסיס, n = 1:

📐 אינדוקציה מתמטית

1 · 2 = 1 · 2 · 33 + c

2 = 2 + c

c = 0

בעבור c = 0 מתקיים גם הבסיס וגם הצעד (סעיף א), ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי. בעבור c ≠ 0 הבסיס לא מתקיים, והצעד לבדו אינו הוכחה.

✅ פתרון סופי: c = 0

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא